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Como justificar en geometría

Beatriz Ojeda Salcedo

Asesora de la UPN 094

Bertha Medina Flores

Dulce Ma. Peralta González Rubio

Docentes del CCH, UNAM

Resumen

En este trabajo, con base en nuestra experiencia docente y los estudios e investigaciones que hemos realizado con nuestros alumnos, exponemos nuestra conceptualización sobre la enseñanza de la geometría en el bachillerato. El trabajo concluye, dada la extensión, con otra ponencia que presenta los ejemplos concretos elaborados por nuestros alumnos, sobre la puesta en práctica de esta concepción y su consecuente metodología de enseñanza.

En esta parte, hacemos énfasis en la vinculación de las habilidades que se requieren para desarrollar el pensamiento geométrico. Aclaramos porqué el conocimiento geométrico resulta ser básico y el porqué de su acotamiento en cuanto a la exigencia de rigor, con la intención de ilustrar qué significa, en nuestro nivel educativo, una demostración válida.

Nuestro estudiante de nivel superior, cómo desearía la enseñanza de las matemáticas, para que los alumnos, desde temprana edad, sepan «... analizar su entorno, sus problemas, a deducir las soluciones, a ser capaces de abstraer e interpretar los fenómenos que se les presentan; ir más allá de lo aprendido en clases, y desarrollar una gran facultad para la observación y el análisis».(1)

¿Por qué la geometría es una habilidad básica?

Para contestar a esto mencionaremos algunas razones que, desde nuestro punto de vista, son suficientes para justificar su importancia en la enseñanza universitaria.

*** La geometría forma parte de nuestro lenguaje cotidiano. Hablamos de muchas cosas que poseen formas y dimensiones y usamos términos geométricos para referirnos a ellos, si no los tuviéramos, no podríamos comunicarnos y entendernos en el mundo de las formas. También usamos el argot geométrico para hablar metafóricamente y embellecer el arte de comunicar ideas abstractas, incluidos los sentimientos y emociones.

El lenguaje de las formas es de uso común y día a día ocupa un lugar cada vez más importante. Lo empleamos en las señalizaciones de todo tipo: vial, naval, etc, en los logotipos de las banderas, en los íconos de los programas de computación, en los edificios públicos, en los carteles de advertencia de incendio o temblor, y en muchas más variadas situaciones.

Usos del vocabulario geométrico en la vida diaria

Descripciones concretas Metáforas
¿Las calles que dices son perpendiculares? Las líneas camioneras están saturadas en semana santa.
En un punto de la carretera debes girar 90°. Una vida ejemplar muestra siempre la rectitud en las acciones.
Los adoquines son octagonales. La proyección educativa está hecha un desorden, el fenómeno no se comporta linealmente.
Hay silos cónicos y también cilíndricos. Por mucho tiempo llevaron vidas paralelas.
Nuestro cuerpo no es totalmente simétrico. Los partidos de izquierda no se han puesto de acuerdo y por ello les ganan los de la derecha que sí se alinean con el gobierno.
Una escalera de caracol tiene la forma de una espiral. Entre sus sueños y la realidad, median años luz de distancia.
El viaje turístico es punto a punto. El gobierno tocó tangencialmente el tema de la inmigración.
La pendiente de la escalera está muy pronunciada. Los precios llevan una escalada en espiral con un ángulo cercano a los 90°, que hace pronosticar una superinflación.
El diseño del interior del auto aprovecha muy bien el espacio. En la esfera de influencia del poder, se encuentra la primera dama.

*** La geometría se aplica en situaciones de la vida diaria. Por ejemplo, está relacionada con problemas de medida que cotidianamente nos ocupan, como diseñar una vasija, una pieza de cerámica, un folleto publicitario, construir a escala el prototipo de un auto o un avión, calcular el área de un terreno, la capacidad de un barril de petróleo, la pintura necesaria para cubrir una superficie o el volumen de un cuerpo; asimismo, usamos nuestros conocimientos geométricos para leer mapas y planos —donde los puntos señalados representan ciudades; las curvas, rutas; las paralelas, vías de ferrocarril; las líneas punteadas, caminos sin pavimentar; las cuadrículas o sistemas de coordenadas ubican localidades, barrios, monumentos, etc.—.

La misma estructura del universo se explica en términos geométricos y muchos ejemplos de la naturaleza que nos rodea son descritos a través de la geometría: cristales, minerales, frutas y flores, copos de nieve, formas de animales del mar, etc.

El poseer este conocimiento geométrico, nos permite establecer conexiones entre esta rama de la matemática y el mundo cotidiano.

*** Todas las ramas de las matemáticas se sirven de la geometría para ilustrar las ideas y productos más abstractos o complejos. La geometría se comporta como una disciplina integradora de la matemática, ya que es un rico recurso de visualización para conceptos aritméticos, algebraicos, estadísticos, topológicos, etc.

Son ejemplos de modelos geométricos usados en la enseñanza:

*** La geometría es el soporte para comprender conceptos de matemáticas más avanzados y de otras ciencias. Por ejemplo, para modelar la derivada de una función (la pendiente de la recta tangente a la curva en un punto). Asimismo, la geometría es importante en el análisis matemático para representar a la integral definida en un intervalo (el área bajo la curva), y más.

La Geometría constituye un prerrequisito para el estudio de la física, la astronomía, la química, la geología, la tecnología, la biología y todas las artes plásticas, por supuesto, es indispensable en las ingenierías, la arquitectura, el diseño gráfico, etc.

Sin duda alguna, las gráficas juegan un papel importante en nuestra mente; por ejemplo, el trazado de las curvas colabora a que imaginemos como se comporta la función 1/x en el infinito o a imaginarnos el desplazamiento del cometa Halley en su órbita elíptica y apreciar su trayectoria respecto del sol.

*** El estudio de la Geometría nos permite desarrollar la percepción espacial y la visualización. Con la finalidad de funcionar en el mundo de los objetos, todos requerimos de habilidades básicas para la percepción espacial en general, esto es, por citar un ejemplo obvio, si no pudiéramos visualizar los objetos a nuestro paso, seguramente tendríamos muchos accidentes al caminar. Todos necesitamos de la habilidad de visualizar objetos en el espacio y captar sus relaciones, asimismo, requerimos de la capacidad para leer representaciones bidimensionales —proyecciones en un plano de objetos tridimensionales —sin duda todos hemos pasado por la necesidad de armar un mueble o un juguete siguiendo instrucciones donde debemos interpretar un dibujo que corresponde al plano del objeto a armar; o también nos hemos visto en la tarea de imaginar cómo quedará la casa viendo tan sólo su proyecto dibujado en los planos que nos muestra el arquitecto.

*** La geometría como modelo de conocimientos lógicamente organizados. La geometría ha sido la primera rama de la matemática organizada lógicamente. Ideas acerca de la lógica y la deducción en geometría no necesitan esperar para ser enseñadas hasta los niveles superiores de escolaridad. Aun los niños de preescolar comprenden algunos aspectos de la prueba indirecta. Un niño puede comprender que si la pelota está detrás de A, B o C y no está detrás de A ni de C debe estar detrás de B. La prueba deductiva entraña mayor dificultad, pero los niños también arriban a conclusiones lógicas y es importante darles actividades que los conduzcan a hacer inferencias y tratar de probarlas. Sin practicar estas formas sencillas de razonamiento, el alumno no estará preparado para entender la geometría como un sistema matemático y las reglas que lo rigen.

La geometría promueve las habilidades de pensamiento y estrategias de resolución de problemas. Proporciona oportunidades para observar, comparar, medir, conjeturar, imaginar, crear, generalizar y deducir. Tales oportunidades pueden ayudar al alumno a aprender como descubrir relaciones por él mismo y tornarse más competente en la solución de problemas.

*** A través de la geometría, las sociedades han desarrollado valores estéticos y culturales. La geometría es uno de los medios para diseñar y enseñar estética. Geometría hay en la pintura, en la danza, el tatuaje, la moda, la escultura, el paisajismo y en muchas, muchísimas, manifestaciones artísticas.

Nuestra capacidad de apreciar formas alrededor de nosotros nos permite apreciar la belleza del mundo natural y artificial que nos rodea.

¿Qué geometría enseñar y cómo enseñarla?

Acabamos de exponer múltiples razones por las cuales se debe enseñar geometría en la escuela. El punto ahora es escoger cuál geometría debemos enseñar, dicha enseñanza se puede abordar de dos maneras: a) la que comprende el enfoque lógico-racional que define a la geometría como una teoría axiomática que se desarrolla bajo leyes rigurosas de razonamiento deductivo, o b) la de enfoque más intuitivo —y con base en la experiencia—, que se apoya en la búsqueda (exploración), descubrimiento y comprensión, por parte del sujeto que aprende, de los conceptos y propiedades geométricas que le permiten explicar aspectos y situaciones del mundo en que vive.

Sin lugar a dudas, la más cercana a las posibilidades de nuestros alumnos de bachillerato es la segunda, pero el docente debe saber que su meta en este nivel es crear las condiciones para que el alumno pueda avanzar en estudios posteriores, en la profundización de la naturaleza deductiva y rigurosa de esta rama de la matemática.

Llegar al desarrollo del pensamiento geométrico abstracto debe ser una de las metas en educación superior. Bishop (1983) afirmaba: «la geometría es la matemática del espacio» y es a través del estudio del espacio físico y de los objetos que en él se encuentran por donde el alumno ha de acceder a los conceptos más abstractos de esta rama de las matemáticas. Esto no implica que su enseñanza en la educación básica deba quedar restringida al espacio físico; el pensamiento geométrico puede tomar a éste como punto inicial, pero ha de avanzar hacia el establecimiento de imágenes, relaciones y razonamientos con los que se operará mentalmente.

Por otro lado, la relación entre el espacio físico y el matemático no se da en un punto determinado del desarrollo humano, ni aún en el del matemático profesional. El pensamiento matemático, aún el más abstracto, se vale de modelos físicos o gráficos para representarse y, viceversa, el mundo físico tiende a explicarse a través de modelos matemáticos y la geometría, para tales casos, puede ser muy útil.

Entonces podemos admitir que el sentido de espacio y, por ende, el sentido geométrico, se inicia con la experiencia directa que las personas tienen sobre los objetos que les rodean para enriquecerse a través de actividades de construcción, dibujo, medida, visualización, comparación, transformación, discusión de ideas, conjetura y comprobación de hipótesis, que facilitarán posteriormente, el acceso a la estructura lógica y maneras de demostración de esta disciplina.

¿Cuáles son las habilidades que una buena enseñanza de la geometría debería ayudar a desarrollar?

Varios autores coinciden con Hoffer (1981), quien habla de habilidades básicas a desarrollar en geometría y las clasifica en cinco áreas: visuales, verbales, de dibujo, lógicas y de aplicación.

A través del análisis de estas habilidades se podrá observar que resulta prácticamente imposible desarrollarlas separadamente.

Cualquier actividad geométrica que conlleve un aprendizaje significativo, va a involucrar, necesariamente, a varias de ellas, sin embargo, estamos conscientes de que tratarlas singularmente, ayudará a la toma de conciencia de su valor específico.

Observar. Habilidades visuales. Más del 80% de la información que percibimos del mundo que nos rodea entra por nuestros ojos.(2) Del Grande (1987) menciona que percibimos más del 85% de la información espacial con nuestro sistema óptico, por ello resulta crucial desarrollar habilidades visuales que nos permitan estudiar el espacio.

Visualizar, según el diccionario tiene tres acepciones: representar mediante imágenes ópticas fenómenos de otro carácter; formar en la mente una imagen visual de un concepto abstracto y, por último, imaginar con rasgos visibles algo que no se tiene a la vista. De acuerdo con esto, visualizar implica poder representar lo mental a través de formas visuales externas (dibujos, planos, gráficas, etc) así como también, ser capaz de representar en la mente objetos visuales reales o no (representaciones internas). Gutiérrez (1996), define la visualización como la actividad de razonamiento o proceso cognitivo que usa elementos visuales o espaciales, tanto mentales como físicos, para resolver problemas o probar propiedades.

El proceso de visualización requiere de dos tipos de habilidades: a) las relacionadas con la captación de representaciones visuales externas y, b) las relacionadas con el pensamiento y construcción de imágenes mentales (representaciones visuales internas) (Bishop 1993). Las primeras implican poder leer, comprender e interpretar las representaciones visuales y el vocabulario espacial usado en trabajos geométricos, gráficos y diagramas de todo tipo. Esto implica que visualizar es más que la simple percepción de imágenes con los ojos, va mucho más allá: «la visualización es percepción con comprensión» tal y como lo sintetiza Azinián (1997).

Pero el proceso de visualización no está completo sin el segundo tipo de habilidades que comprende la capacidad para manipular y analizar imágenes mentales, así como transformar conceptos, relaciones e imágenes en otras clases de información, a través de las representaciones visuales externas. Entre las habilidades visuales podemos contar las de percepción de fondo, coordinación visomotora, discriminación, percepción de relaciones espaciales entre objetos, memoria visual, conservación de la forma, tamaño y posición, reproducción, por mencionar sólo algunas de las más generales.

Para adquirir las habilidades de visualización debemos tomar en cuenta que muchos procesos y conceptos en geometría no pueden ser entendidos por los estudiantes a menos que el estudiante pueda percibir visualmente ejemplos e identificar figuras y propiedades por asociación con conocimientos previos. Por ejemplo, para comprender el concepto triángulo y reconocerlo, el alumno tiene que seguir un proceso de consolidación que va desde la discriminación de un triángulo de otras figuras que no lo son, hasta la representación abstracta del mismo que le permite reconocer que un triángulo dibujado por él no abarca a «todos los triángulos».

Con este esquema muy simplificado, intentamos dar una idea de nuestra visualización sobre el proceso de visualizar en geometría y ver que estas habilidades están intrínsecamente ligadas a la comprensión y no es posible tratarlas separadamente, las actividades cognitivas las requieren de forma integrada.

Explorar. Habilidades de dibujo y construcción. Para poder dar idea de un concepto matemático recurrimos normalmente al uso de representaciones externas —escritura, trazo, dibujo, maqueta, etc— con las cuales damos vida visual a imágenes y objetos mentales, con existencia real pero no física.

Los procesos de razonamiento inductivos y deductivos tienen como soporte las representaciones o modelos geométricos elaborados por el profesor o por los propios estudiantes, son medios de estudio de las propiedades geométricas y dejan ver conceptos e imágenes visuales internas.

En la geometría, los símbolos y representaciones no sólo sirven como medio de exteriorización de las representaciones mentales y para comunicarlas —haciéndolas accesibles a otros— sirven también al pensamiento para crear más conocimientos, debido a que permiten la manipulación abstracta de muchos elementos y las relaciones y propiedades que juegan entre ellos.

Para el aprendizaje de la geometría, los alumnos deben desarrollar habilidades de dibujo y construcción relacionadas con la representación de figuras y cuerpos, asimismo, deben ser capaces de efectuar una reproducción a partir de modelos propuestos y realizar una construcción sobre una base de datos dados de manera oral, escrita o gráfica. El trabajo en el aula o taller, ha conducir al alumno a investigar y a utilizar conceptos y relaciones geométricas a través de situaciones que pongan en juego procedimientos tales como la clasificación, la descripción que involucra propiedades, la reproducción a partir de modelos, la construcción sobre la base de datos escritos, orales y gráficos y la representación convencional de figuras y cuerpos.

A las habilidades de observación se deben añadir las acciones personales de exploración, comparación, manipulación y comprobación que pueden agilizarse con la tecnología informática, dado que esta herramienta permite representar gran cantidad de manipulaciones físicas cuya elaboración, de manera manual, consumiría mucho tiempo.

Justificar. Habilidades de comunicación. La habilidad de comunicación es la competencia que permite al alumno leer, interpretar y comunicar con sentido, en forma oral y escrita, información geométrica y de todo tipo, usando el vocabulario y los símbolos del lenguaje matemático de forma adecuada. Dickson y otros (1991) dicen que el poseer esta habilidad de comunicación supone la aptitud para oír hablar y hablar de matemática, lo mismo que para leer y escribir acerca de ella.

En los estándares aprobados por la NCTM para la enseñanza de las matemáticas, en el apartado de la comunicación se puntualiza sobre los distintos roles que el lenguaje juega en el aprendizaje de las matemáticas y se hace explicito que:

Reconocemos como habilidades de comunicación: escuchar, localizar, leer e interpretar información geométrica presentada en diferentes formatos; asimismo, también lo son el denominar, definir y comunicar información geométrica en forma clara y ordenada, utilizando el lenguaje natural y el simbólico apropiado. Consideramos que se arriba a su dominio a través de actividades como: el seguir instrucciones; elegir, entre varias, las respuestas más adecuadas, completar oraciones; resolver crucigramas con vocabulario y símbolos geométricos; crear símbolos y compararlos con los convencionales; asignar significado a los símbolos convencionales; utilizar diccionarios y textos para contrastar significados; relacionar palabras con definiciones o símbolos con significados; hallar equivalencias entre palabras, símbolos y definiciones; analizar distintas definiciones de un mismo símbolo, elemento o concepto; describir objetos, propiedades y relaciones entre objetos. También están: fundamentar oralmente y por escrito, en forma clara y concisa, un razonamiento o procedimiento; describir, explicar y argumentar usando diferentes formas de razonamiento.

Para la adquisición de estas habilidades de comunicación es muy importante tomar en cuenta, tanto el lenguaje como la buena elección de los materiales que han de ser escogidos para el desarrollo del pensamiento geométrico.

La adquisición de los conceptos y el lenguaje resultan un proceso dinámico. El trabajo en equipo, estimula y promueve tal dinamismo ya que permite que los alumnos practiquen la comunicación de sus ideas, forzándolos a externar las asociaciones mentales que hacen entre los símbolos y sus significados, así como de los conceptos que usan o elaboran. Esta verbalización hace posible que el docente observe en los estudiantes las ideas inmaduras o erróneas y de esta manera reorganice la orientación de la enseñanza. Por ello resulta muy necesario que el profesor interprete el vocabulario y las expresiones lingüísticas que usan sus pupilos y que al mismo tiempo se ocupe de mejorarlos y rigorizarlos, dándoles mejores herramientas para expresar sus pensamientos.

Hay que tener cuidado con el vocabulario que se utiliza en el razonamiento lógico, ya que el uso inadecuado de cuantificadores —todos, algunos, ninguno, a lo más uno, etc, — y de la condicional «si...entonces...», obstaculizan la comunicación correcta de razonamientos inductivos o deductivos. No basta que los estudiantes tengan amplios conceptos geométricos cuando ellos piensan, pues no se puede acceder a ellos sin un lenguaje adecuado.

En los estándares sobre razonamiento y prueba se manifiesta la necesidad de que los estudiantes, desde el inicio, tengan experiencias que los ayuden a desarrollar procesos de comunicación para expresar pensamientos claros y precisos y, que este desarrollo del razonamiento lógico esté estrechamente relacionado con el desarrollo del lenguaje que a su vez depende de las habilidades de los alumnos para explicar sus razonamientos más allá de las simples respuestas.

Deducir e inferir lógicamente. Habilidades de razonamiento. Para razonar deductiva o inductivamente, requerimos de las habilidades lógicas que a su vez están ligadas con las habilidades de razonamiento analítico, es decir, son las capacidades necesarias para desarrollar un argumento lógico.

Según el diccionario del español, por razonamiento se ha de entender la «acción y efecto de discurrir, ordenando ideas en la mente para llegar a una conclusión».

«Balacheff define el razonamiento como la actividad intelectual, la mayor parte del tiempo no explícita, de manipulación de informaciones para producir nuevas informaciones a partir de datos. Desde este punto de vista, esta actividad da lugar a prácticas argumentativas, personales e institucionales, que constituyen una dimensión ostensiva, comunicacional. Al mismo tiempo, el razonamiento se desarrolla por medio de dichas prácticas, de modo que el estudio del razonamiento está constitutivamente ligado al estudio de la argumentación» (Godino y Recio, 1998).

Habilidades lógicas a desarrollar a través del estudio de la geometría en el nivel bachillerato: abstraer conceptos y relaciones, generar y justificar conjeturas, formular contraejemplos, seguir argumentos lógicos, juzgar la validez de un razonamiento, desarrollar esquemas deductivos elementales. La inducción y la deducción son dos formas de pensamiento consideradas dentro del razonamiento lógico —de hecho conforman dos de los métodos matemáticos para producir conocimientos.

El razonamiento inductivo es la capacidad de realizar con éxito actividades como: comparar, completar series de símbolos o figuras, clasificar objetos y generalizar propiedades a partir de ejemplos concretos, entre otras. El método inductivo es considerado el camino del razonamiento que va de lo particular a lo general.

La deducción, por su parte, es un método de razonamiento que va de lo general a lo particular. A través del razonamiento deductivo se demuestra la veracidad de las proposiciones a las que se arribaron por inducción.

Nuestra experiencia coincide con la de A. M. Bressan, B. Bogisic y K. Crego (2000), quienes sostienen que el razonamiento deductivo no está necesariamente unido a una presentación formal del mismo (totalmente explícita y que detalla cada paso usando sólo términos y símbolos matemáticos) y que además, en el bachillerato no es condición necesaria tal presentación, pero consideramos que es importante que los alumnos reconozcan las diferencias entre las distintas formas de validación de este tipo de razonamiento y puedan usarlas (contraejemplo, prueba directa, prueba indirecta) sin ser requisito para aprobar el curso, el saber realizar «demostraciones matemáticas formales». Probar una generalización en matemáticas requiere de la deducción que la independiza de la experiencia y la torna universal.(3)

Aún cuando reconocemos que las habilidades lógicas son relevantes para el razonamiento matemático, no podemos dejar de lado a las habilidades de creación y de aplicación o transferencia, ya que sin ellas, el alumno estará incapacitado para usar su razonamiento en situaciones nuevas o fuera de sus contextos habituales. En este sentido, la intuición y la analogía, más ligadas a los procesos creativos y de aplicación de las matemáticas, cobran relevancia y por ello deben ser incluidas como parte del razonamiento lógico.

Algunas de las actividades que colaboran a que los estudiantes desarrollen el pensamiento lógico son: inferir, dadas las propiedades de un objeto, deducir de qué objeto geométrico se trata; clasificar objetos geométricos por sus atributos; a partir de varios ejemplos, extraer reglas y generalizaciones; identificar el conjunto mínimo de propiedades que definen una figura; comparar conceptos y relaciones, usando ejemplos, contraejemplos, definiciones y clasificaciones; presentar argumentos informales utilizando diferentes representaciones; completar argumentos deductivos; determinar inconsistencias en argumentos dados; reconocer congruencias, diferencias y semejanzas a través del contraste de características o propiedades; por mencionar algunas. Para ayudar al desarrollo del pensamiento lógico, están también las habilidades relacionadas con la creatividad, entre otras, crear, inventar, imaginar, intuir situaciones; explorar y descubrir conceptos, regularidades y relaciones. En la creación, la intuición y la analogía juegan roles especiales.

La intuición es una forma de percatarnos, sin mucho análisis ni razonamiento, de conceptos y situaciones para tratar de entender el mundo que nos rodea, es decir, intentamos, en un primer acercamiento, la comprensión de lo que queremos saber, sin embargo, dada su imprecisión por ser una percepción de primera instancia, solemos equivocarnos o adquirirla con limitaciones, pero aún con estas deficiencias, las intuición nos resulta tremendamente útil. Dado que esta forma del pensamiento humano sucede de manera automática y proporciona a los aprendices ideas de súbito que tienden a ser manifestadas por ellos de manera espontánea, el profesor debe estar atento a esto, ya que debe cuidar el proceso para provocar cambios cualitativos en esas conceptualizaciones espontáneas que el alumno demuestra poseer.

El razonamiento por analogía es aquel tipo de pensamiento que recurre a conocimientos previos, la historia y la memoria juegan un papel importante en este proceso, (que consideramos de naturaleza inductiva). Las analogías son útiles para explicar cosas nuevas ya que se usan como soporte las cosas conocidas o familiares para explicar o entender conceptos o ideas nuevas. Este tipo de razonamiento nos lleva a generalizar nuestras apreciaciones individuales aplicándolas a casos particulares similares, sin embargo, esta manera de pensar tiene limitaciones, pues muchas veces las generalizaciones resultan falsas o erróneas, la experiencia nos ha mostrado que el uso de analogías ayuda al estudiante en el proceso de aplicación o transferencia.

En nuestro quehacer docente nos hemos encontrado que es imposible separar las actividades que impliquen desarrollo de habilidades lógicas de aquellas que tienen que ver con la aplicación y transferencia de conocimientos (resolución de problemas). Es por ello que esta parte última del trabajo tratará ambas habilidades indistintamente.

Resolver. Habilidades de aplicación o transferencia (usar en la resolución de problemas o explicación de fenómenos). En la resolución de problemas están implicados tanto procesos cognitivos como metacognitivos en donde se ponen en juego todas las formas de razonamiento creativo y lógico mencionadas anteriormente. Las habilidades de aplicación o transferencia son aquellas que nos permiten utilizar, en este caso a la geometría, para explicar fenómenos, hechos o conceptos y resolver problemas dentro y fuera de las matemáticas. La habilidad de aplicación primaria será entonces la de modelización —en el sentido que se le da en matemáticas— y donde se utilizan todas las habilidades anteriormente mencionadas.

La modelización es uno de los instrumentos básicos en matemáticas, en particular para la geometría, se constituye en herramienta fundamental a la hora de aplicarla en la resolución de problemas y consiste en usar el lenguaje y los métodos de esta disciplina a problemas de la misma, de otras disciplinas o del mundo cotidiano.

El proceso de la resolución de problemas requiere de actividades tales como: identificar el problema en la situación planteada; identificar tipos de datos (necesarios, accesorios o secundarios, incompletos, etc); anticipar estrategias posibles de solución antes de ejecutarlas; representar mentalmente (en forma oral, simbólica o gráfica) conceptos y estrategias a usar; identificar los recursos (tiempo, instrumentos, con la finalidad de resolver un problema dado; estimar la viabilidad lógica de los resultados y su significado en el contexto de la situación problemática; reflexionar sobre el problema y lo realizado, controlando los usos de conceptos y procedimientos; captar las limitaciones de los modelos empleados; utilizar los resultados de la reflexión para retomar el problema y generar nuevas preguntas; reconocer el valor del razonamiento y la prueba como partes esenciales de la geometría.

Hablemos ahora de aspectos relacionados con la adquisición de la habilidad para resolver problemas. En el bachillerato del CCH se ha de evitar que el alumno se mueva dentro de un marco axiomático riguroso, pero sí se ha de promover que se aboque a intuir, plantear hipótesis, hacer conjeturas, generalizar y, si es posible, demostrar y modelizar pero sin las exigencias de formalización extrema que se piden a los estudiantes de matemáticas en los niveles universitarios superiores.

Como ayuda para interpretar la evolución del desarrollo geométrico en los alumnos se puede recurrir al trabajo realizado por los esposos Van Hiele (citado por Pastor y col. 1994): Nivel 0 de reconocimiento, nivel 1: de análisis; nivel 2: de ordenamiento o abstracción. Nivel 3: de deducción. Nivel 4: de rigor.

Conclusiones:

Para la enseñanza de la geometría, cualquier propuesta que se precie de ser efectiva, debe considerar que el vínculo entre la visualización, la experimentación, el razonamiento lógico, la argumentación (comunicación matemática) y aplicación es indisoluble. Dada esta premisa y sabedores de que es en el bachillerato, tal vez el primer acercamiento de estudio sistemático a esta disciplina, no se debe enseñar con una formalidad de nivel 4, sino que hay que conducirlos por los tres primeros niveles de formalización matemática, cuyo soporte todavía se apoya mucho en la experimentación concreta. Se ha demostrado que muchos de los estudiantes no se encuentran siquiera en el nivel 0 y nosotros queremos que trabajen en el nivel 4 con el rigor formalista de niveles universitarios superiores.

«El punto clave de la problemática de la educación geométrica radica en el hecho de que el conocimiento geométrico y espacial emerge de la toma de conciencia y de la exposición y expresión de la dinámica de las imágenes mentales. Así, la complejidad de la educación geométrica a diferencia de otras ramas de la educación matemática radica en la omnipresente e inevitable dialéctica entre la conceptualización y visualización o, dicho de otro modo, entre la experimentación y la demostración. De esta manera, la geometría puede ser considerada como una búsqueda de modelos guiada, tanto por el «ojo visual» como por el «ojo de la mente»(Alsina y otros 1995).»

Bibliografía

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Notas:

1.- Ibidem

2.- UNESCO

3.- Los alumnos han de entender que la geometría experimental es una geometría aproximada, una guía, pero nada puede sustituir a la demostración (deductiva) para generalizar propiedades y relaciones geométricas.

Articulo publicado en la Revista Xictli de la Unidad UPN 094 D.F. Centro, México. Se permite su uso citando la fuente. Dirección www.unidad094.upn.mx